Question

3．已知在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量$\overrightarrow m$=（b，c-2a），$\overrightarrow n$=（2cosC，1），且|$\overrightarrow m$+$\overrightarrow n$|=|$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$|．
（I）求∠B的大小；
（II）若b=2，求△ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}|$的兩邊平方即可得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，進而得出2bcosC+c-2a=0，由余弦定理便可得到$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{a}+c-2a=0$，再應用余弦定理即可求出$∠B=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）b=2帶入a²+c²-b²-ac=0便可得出4=a²+c²-ac，根據(jù)不等式即可求出ac的范圍，這樣即可求出△ABC面積的范圍，即得出其最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}|$；
∴$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）^{2}=（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）^{2}$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2bcosC+c-2a=0$；
∵$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$；
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{a}+c-2a=0$；
整理得，a²+c²-b²-ac=0；
∴2accosB=ac；
∴$cosB=\frac{1}{2}$；
∴$∠B=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）根據(jù)上面，b=2時：
4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac；
∴ac≤4；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsin\frac{π}{3}=\frac{1}{4}ac≤1$；
即△ABC面積的最大值為1．

點評 考查向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的坐標運算，以及余弦定理，已知三角函數(shù)值求角，不等式a²+c²≥2ac的運用，以及三角形的面積公式．