Question

【題目】已知函數(shù)

(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）求出f（x）的導數(shù)，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；

（2）求出f（x）導數(shù)，求得切線的斜率和切點，可得切線方程，由題意可得關于x的方程有且只有一個解，即有且只有一個解．令，求出導數(shù)，對m討論，求出單調(diào)區(qū)間，運用單調(diào)性即可得到m的范圍．

試題解析：

(1)由題意知， ，

所以.

令得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

所以曲線在點處的切線的方程為，

因為與曲線有且只有一個公共點,

即關于的方程有且只有一個解，

即有且只有一個解.

令，

則.

①時，由得，由，得，

所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),

又，故符合題意；

②當時，由，得或，由，得，

所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，

又，且當時， ，此時曲線與軸有兩個交點，

故不合題意；

③當時， 在上為增函數(shù)，且，

故符合題意；

④當，由，得或，由，得，

所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

又，且當 時， ，此時曲線與軸有兩個交點，

故不合題意；

綜上，實數(shù)的取值范圍或.