【題目】從數(shù)列中取出部分項組成的數(shù)列稱為數(shù)列子數(shù)列”.

1)若等差數(shù)列的公差,其子數(shù)列恰為等比數(shù)列,其中,,求;

2)若,,判斷數(shù)列是否為子數(shù)列,并證明你的結(jié)論.

【答案】13n1n(2)見解析

【解析】

1)運用等比數(shù)列的中項性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式,求得首項和公差的關系,可得等比數(shù)列的公比,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式,可得kn23n11,再由數(shù)列的分組求和,即可得到所求和;

2)數(shù)列{bn}{an}的“子數(shù)列”.由3k24n,可得3k4n+2,運用二項式定理即可得證.

1)等差數(shù)列{an}的公差d0,其子數(shù)列{a}恰為等比數(shù)列,

其中k11,k25,k317,可得aa1,aa5aa17,

且有a52a1a17,即(a1+4d2a1a1+16d),

化為a12d,則ana1+n1d=(n+1d,

子數(shù)列{a}為首項為2d,公比為3的等比數(shù)列,

a2d3n1=(kn+1d,可得kn23n11,

k1+k2++kn=(2+6++23n1)﹣n

n3n1n;

2)若an3n2bn4n,數(shù)列{bn}{an}的“子數(shù)列”.

3k24n,可得3k4n+2

4n=(1+3n1+C3+C32++3n,

即有4n+231+CC3++3n1),顯然為3的倍數(shù),

故數(shù)列{bn}{an}的“子數(shù)列”.

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