Question

9．函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}+a$為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=$-\frac{1}{2}$；函數(shù)f（x）在[1，3]上的值域?yàn)?[-\frac{7}{18}，-\frac{1}{6}]$．

Answer 1

分析 由定義知實(shí)數(shù)的奇函數(shù)滿足f（0）=0求得a值；把求得的a值代入函數(shù)解析式，由x的范圍求出2^x+1的范圍，然后求得函數(shù)值域．

解答 解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}+a$的定義域?yàn)镽，
∴f（0）=$\frac{1}{{2}^{0}+1}+a=\frac{1}{2}+a=0$，解得a=-$\frac{1}{2}$；
則$f（x）=\frac{1}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}$，
當(dāng)1≤x≤3時(shí)，3≤2^x+1≤9，
∴$\frac{1}{9}≤\frac{1}{{2}^{x}+1}≤\frac{1}{3}$，
則$-\frac{7}{18}≤\frac{1}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}≤-\frac{1}{6}$，
∴函數(shù)f（x）在[1，3]上的值域?yàn)?[-\frac{7}{18}，-\frac{1}{6}]$．
故答案為：$-\frac{1}{2}$；$[-\frac{7}{18}，-\frac{1}{6}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查函數(shù)值域的求法，考查不等式的性質(zhì)，是中檔題．