4.在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.已知曲線C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),過點(diǎn)P(-1,2)的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$(t是參數(shù)),直線l與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn).
(1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值.

分析 (1)把極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以ρ,代入y=ρsinθ,x=ρcosθ可得曲線的直角坐標(biāo)方程;直接把直線參數(shù)方程中的參數(shù)t消去可得直線的普通方程;
(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,利用參數(shù)t的幾何意義結(jié)合|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列求a的值.

解答 解:(1)由ρsin2θ=2acosθ(a>0),得ρ2sin2θ=2aρcosθ,
把y=ρsinθ,x=ρcosθ代入上式,得y2=2ax(a>0).
由$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{x+1=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y-2=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$,
消去$\frac{\sqrt{2}}{2}t$得,y-2=-x-1,即x+y-1=0;
(2)如圖,把$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入y2=2ax,得
$(2+\frac{\sqrt{2}}{2}t)^{2}=2a(-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t)$,即${t}^{2}+(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}a)t+4a+8=0$.
∴${t}_{1}+{t}_{2}=-(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}a)$,t1t2=4a+8,
∵|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,
∴|MN|2=|PM|•|PN|,即$({t}_{2}-{t}_{1})^{2}={t}_{1}{t}_{2}$,
∴$({t}_{1}+{t}_{2})^{2}=5{t}_{1}{t}_{2}$,則$[-(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}a)]^{2}=5(4a+8)$,
整理得:2a2+3a-2=0,解得a=-2或a=$\frac{1}{2}$.
∵a>0,
∴$a=\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程,考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)得互化,考查直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.已知log163=m,則用m表示log916=$\frac{1}{2m}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.函數(shù)y=cos2x的圖象關(guān)于($\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$,0)或直線x=$\frac{kπ}{2}$,k∈Z對(duì)稱.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.如果復(fù)數(shù)z=$\frac{3-bi}{2+i}$(b∈R)的實(shí)部和虛部相等,則|z|等于( 。
A.3$\sqrt{2}$B.2$\sqrt{2}$C.3D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為26,積為216.求等比數(shù)列{an}的公比q,并寫出前3項(xiàng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{{{2^x}+1}}+a$為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a=$-\frac{1}{2}$;函數(shù)f(x)在[1,3]上的值域?yàn)?[-\frac{7}{18},-\frac{1}{6}]$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.為配合國(guó)慶黃金周,促進(jìn)旅游經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,某火車站在調(diào)查中發(fā)現(xiàn):開始售票前,已有a人在排隊(duì)等候購票.開始售票后,排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加b人.假設(shè)每個(gè)窗口的售票速度為c人/min,且當(dāng)開放2個(gè)窗口時(shí),25min后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象(即排隊(duì)的人剛好購?fù)辏;若同時(shí)開放3個(gè)窗口,則15min后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象.若要求售票10min后不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象,則至少需要同時(shí)開幾個(gè)窗口?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB中點(diǎn),F(xiàn)是DC上的點(diǎn),且$DF=\frac{1}{2}AB,PH$為△PAD中AD邊上的高.
(Ⅰ)證明:PH⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若PH=1,AD=2,F(xiàn)C=1,求三棱錐E-BCF的體積;
(Ⅲ)證明:EF⊥平面PAB.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.給出下列命題:
(1)底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體;
(2)底面是正方形的直平行六面體是正四棱柱;
(3)底面是正方形的直四棱柱是正方體;
(4)所有棱長(zhǎng)都相等的直平行六面體是正方體.
以上命題中正確命題的個(gè)數(shù)是(  )
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案