分析 (1)把極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以ρ,代入y=ρsinθ,x=ρcosθ可得曲線的直角坐標(biāo)方程;直接把直線參數(shù)方程中的參數(shù)t消去可得直線的普通方程;
(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,利用參數(shù)t的幾何意義結(jié)合|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列求a的值.
解答 解:(1)由ρsin2θ=2acosθ(a>0),得ρ2sin2θ=2aρcosθ,
把y=ρsinθ,x=ρcosθ代入上式,得y2=2ax(a>0).
由$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{x+1=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y-2=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$,
消去$\frac{\sqrt{2}}{2}t$得,y-2=-x-1,即x+y-1=0;
(2)如圖,把$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入y2=2ax,得
$(2+\frac{\sqrt{2}}{2}t)^{2}=2a(-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t)$,即${t}^{2}+(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}a)t+4a+8=0$.
∴${t}_{1}+{t}_{2}=-(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}a)$,t1t2=4a+8,
∵|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,
∴|MN|2=|PM|•|PN|,即$({t}_{2}-{t}_{1})^{2}={t}_{1}{t}_{2}$,
∴$({t}_{1}+{t}_{2})^{2}=5{t}_{1}{t}_{2}$,則$[-(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}a)]^{2}=5(4a+8)$,
整理得:2a2+3a-2=0,解得a=-2或a=$\frac{1}{2}$.
∵a>0,
∴$a=\frac{1}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程,考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)得互化,考查直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義,是中檔題.
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A. | 3$\sqrt{2}$ | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 3 | D. | 2 |
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