Question

7．設(shè)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的增區(qū)間．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，從而求得g（$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）² =2$\sqrt{3}$sin²x-1+sin2x=2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$-1+sin2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$-1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得y=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-1的圖象；
再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sinx+$\sqrt{3}$-1的圖象，
∴g（$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{6}$+$\sqrt{3}$-1=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．