Question

19．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a，b，c成等差數(shù)列，則角B的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{π}{4}$]
• B． （0，$\frac{π}{3}$]
• C． （0，$\frac{π}{2}$]
• D． （$\frac{π}{2}$，π）

Answer 1

分析 由a，b，c成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，解出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把b的式子代入后，合并化簡(jiǎn)，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根據(jù)B的范圍以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，再利用特殊角三角函數(shù)值即可求出B的取值范圍．

解答 解：由a，b，c成等差數(shù)列，得到2b=a+c，即b=$\frac{a+c}{2}$，
則cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）-2ac}{8ac}$≥$\frac{6ac-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），且余弦在（0，π）上為減函數(shù)，
∴角B的范圍是：0＜B≤$\frac{π}{3}$，即為：（0，$\frac{π}{3}$]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，熟練掌握余弦定理及等差數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．