Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-2|+2|x+a|（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＞8；
（2）若不等式f（x）≥3在（-∞，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）按照x≤-1，-1＜x≤2，x＞2三種情況進(jìn)行討論，去掉絕對值符號可解不等式，注意三種情況要對x的范圍取并集；
（Ⅱ）f（x）≥3即|x-2|+2|x-a|≥3，求出f（x）的最小值是a+2，得到a+2≥3，解出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-2|+2|x+1|，
①當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=2-x-2（x+1）=-3x，
由f（x）＞8，得-3x＞8，解得x＜-$\frac{8}{3}$；
②-1＜x≤2時(shí)，f（x）=2-x+2（x+1）=x+4，
由f（x）＞8，得x＞4，
∴此時(shí)不等式無解；
③當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=x-2+2（x+1）=3x，
由f（x）＞8，得3x＞8，解得x＞$\frac{8}{3}$；
綜上，不等式f（x）＞3的解集為（-∞，-$\frac{8}{3}$）∪（$\frac{8}{3}$，+∞）．
（2）∵a＞0，∴-a＜0＜2，
f（x）=|x-2|+2|x+a|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2-2a，x≤-a}\\{x+2a+2，-a＜x＜2}\\{3x-2+2a，x≥2}\end{array}\right.$，
∴f（x）_min=f（-a）=a+2，
f（x）≥3即a+2≥3，解得：a≥1．

點(diǎn)評 對于含有絕對值的題目，本身就是分類的，問題的提出已包含了分類的原因．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，在高考試題中占有重要的位置．