Question

11．已知函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{θ}{2}$）•cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$．
（1）若0≤θ≤π，求使f（x）為偶函數(shù)的θ的值；
（2）在（1）的條件下，若直線y=m與函數(shù)y=|f（x）|（$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{6}$）的圖象有且僅有兩個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式，將f（x）轉(zhuǎn)化為f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），f（x）為偶函數(shù)θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，根據(jù)θ的取值范圍求得θ的值；
（2）根據(jù)（1）可知，求得f（x）的解析式，繪制出y=|f（x）|（$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{6}$）的圖象，根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)圖象即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=2sin（x+$\frac{θ}{2}$）•cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$，
=sin2（x+$\frac{θ}{2}$）+$\sqrt{3}$（2cos²（x+$\frac{θ}{2}$）-1），
=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ），
=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），
使f（x）為偶函數(shù)θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，解得：θ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）可知：f（x）=2cos2x，
函數(shù)y=|2cos2x|（$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{6}$）的圖象，如圖所示：

∵函數(shù)與直線y=m有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，
∴結(jié)合圖象可得：$\sqrt{3}$＜m＜2，
實(shí)數(shù)m的取值范圍（$\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換及正弦函數(shù)的圖象與有關(guān)性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力，此題屬于中檔題．