Question

16．如圖，已知PA與圓O相切于點(diǎn)A，經(jīng)過圓心O的割線PBC交圓O于點(diǎn)B，C，AC=AP，則$\frac{PC}{AC}$的值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)弦切角定理，得到∠BAP=∠C，根據(jù)AC=AP得到∠APC=∠C，利用∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根據(jù)直徑BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠C．利用直角三角形中正切的定義，得到$\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{tan30°}$=$\sqrt{3}$．最后通過內(nèi)角相等證明出△APC∽△BPA，從而$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CA}{AB}$=$\sqrt{3}$．

解答 解：∵PA是切線，AB是弦，
∴∠BAP=∠C．
∵∠APC=∠BPA，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP．
由三角形內(nèi)角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．
∵BC是圓O的直徑，
∴∠BAC=90°．
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．
∴∠C=∠APC=∠BAP=$\frac{1}{3}×90°$=30°．
在Rt△ABC中，$\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{tan30°}$=$\sqrt{3}$．
∵在△APC與△BPA中
∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△APC∽△BPA．
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CA}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∵AC=AP，∴$\frac{PC}{AC}$=$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函數(shù)的定義和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．找到題中角的等量關(guān)系，計(jì)算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解決本題的關(guān)鍵所在．