Question

14．函數(shù)f（x）=cos²x-2cos²$\frac{x}{2}$在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[$\frac{π}{3}$，π]．

Answer 1

分析 根據(jù)二倍角的余弦公式變形化簡解析式，設(shè)t=cosx，由x∈[0，π]得t∈[-1，1]，代入原函數(shù)利用配方法化簡，由二次函數(shù)、余弦函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：由題意得，f（x）=cos²x-2cos²$\frac{x}{2}$
=cos²x-（1+cosx）=cos²x-cosx-1，
設(shè)t=cosx，由x∈[0，π]得t∈[-1，1]，代入原函數(shù)得，
y=t²-t-1=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，則函數(shù)f（t）在[-1，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，
∵t=cosx在[0，π]上的單調(diào)遞減，∴f（x）在[$\frac{π}{3}$，π]上的單調(diào)遞增，
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[$\frac{π}{3}$，π]，
故答案為：[$\frac{π}{3}$，π]．

點評 本題考查二倍角的余弦公式變形，二次函數(shù)、余弦函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及配方法、換元法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．