【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(與左、右頂點(diǎn)不重合).已知的面積的最大值為,橢圓的離心率為.

1)求橢圓的方程;

2)過(guò)的直線交橢圓、兩點(diǎn),過(guò)軸的垂線交橢圓與另一點(diǎn)不與重合).設(shè)的外心為,求證為定值.

【答案】1;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)由已知條件得出關(guān)于、、的方程組,求出、的值,進(jìn)而可得出橢圓的方程;

2)由題意可知直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用弦長(zhǎng)公式求出,利用線段的垂直平分線的交點(diǎn)得出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得出,再對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

1的面積的最大值為,

由已知條件得,解得,因此,橢圓的方程為;

2)由題意可知,直線的斜率存在,且不為零,易知點(diǎn),

設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,可知點(diǎn),

聯(lián)立,消去

由韋達(dá)定理得,,

由弦長(zhǎng)公式得 ,

,

所以,線段的中點(diǎn)為,

則線段的垂直平分線的方程為,即,

線段的垂直平分線為軸,在直線方程中,令,得.

則點(diǎn),,

因此,(定值).

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【題目】在某單位的職工食堂中,食堂每天以3/個(gè)的價(jià)格從面包店購(gòu)進(jìn)面包,然后以5/個(gè)的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣(mài)不完,剩下的面包以1/個(gè)的價(jià)格全部賣(mài)給飼料加工廠.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示.食堂某天購(gòu)進(jìn)了80個(gè)面包,以x(單位:個(gè),)表示面包的需求量,T(單位:元)表示利潤(rùn).

1)求食堂面包需求量的平均數(shù);

2)求T關(guān)于x的函數(shù)解析式;

3)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于100元的概率.

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月份代碼

1

2

3

4

5

銷(xiāo)售量(萬(wàn)輛)

0.5

0.6

1

1.4

1.5

1)利用線性相關(guān)系數(shù)判斷的線性相關(guān)性,并求出線性回歸方程

2)根據(jù)線性回歸方程預(yù)報(bào)20196月份的銷(xiāo)售量約為多少萬(wàn)輛?

參考公式:,;回歸直線:

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(1)若橢圓的離心率為,求的值;

(2)若過(guò)點(diǎn)任作一條直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得, 若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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表1:男生“智力評(píng)分”頻數(shù)分布表

智力評(píng)分/分

頻數(shù)

2

5

14

13

4

2

表2:女生“智力評(píng)分”頻數(shù)分布表

智力評(píng)分/分

頻數(shù)

1

7

12

6

3

1

(1)求高一年級(jí)的男生人數(shù),并完成下面男生“智力評(píng)分”的頻率分布直方圖;

(2)估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生“智力評(píng)分”在內(nèi)的人數(shù).

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