Question

6．已知點F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，M（4，t）（t＞0）為拋物線C上的點，且|MF|=5，線段MF的中點為N，點T為C上的一個動點，則|TF|+|TN|的最小值為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點和準線方程，由拋物線的定義可得p的方程，求得p=2，可得焦點和準線，再由中點坐標公式，可得N的橫坐標，結(jié)合拋物線的定義和三點共線取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：點F（$\frac{p}{2}$，0）為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，
準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
M（4，t）（t＞0）為拋物線C上的點，且|MF|=5，
由拋物線的定義可得4+$\frac{p}{2}$=5，
解得p=2，即有拋物線的方程為y²=4x，
M（4，4），F(xiàn)（1，0），準線方程為x=-1，
設(shè)TK垂直于準線于K，
由|TF|+|TN|=|TK|+|TN|≥|NK|，
當K，T，N三點共線時，取得等號．
由中點坐標公式可得N的橫坐標為$\frac{5}{2}$，
即有|TF|+|TN|的最小值為$\frac{5}{2}$+1=$\frac{7}{2}$．
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，注意運用定義法和三點共線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．