Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+blnx在（1，f（1））處的切線方程為x-y+1=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=m[f（x）-x²+3lnx]+x²．
①若函數(shù)y=g（x）上的點都在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍；
②求證：對任意的自然數(shù)n（n≥2），不等式$\sqrt{2}$•$\root{3}{3}$•$\root{4}{4}$•$\root{5}{5}$…$\root{n}{n}$＜e${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$成立（其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線的方程可得f（1）=2，f′（1）=1，解方程可得a，b，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）求得g（x）=m[f（x）-x²+3lnx]+x²=x²+m（x+lnx）
①討論當(dāng)m=0，m＞0，m＜0，結(jié)合條件，運(yùn)用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)求得導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，可得m的范圍；
②由①知，當(dāng)m=-1時，g（x）=x²+m（x+lnx）≥0在x²-x≥lnx上恒成立，即x²-x≥lnx在$\frac{lnx}{x}≤x-1$上恒成立，即$\frac{lnx}{x}≤x-1$，分別令x=2，3，…，n-1，累加，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=x²+2ax+blnx，導(dǎo)數(shù)$f'（x）=2x+2a+\frac{x}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=1\\ f（1）=2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2a+b+2=1\\ 1+2a=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-2\end{array}\right.$，
則f（x）=x²+x-2lnx；
（2）g（x）=m[f（x）-x²+3lnx]+x²=x²+m（x+lnx）
①當(dāng)m=0時，g（x）=x²，因為x＞0，g（x）=x²＞0滿足題意；
當(dāng)m＞0時，x∈（0，1）時，lnx＜0，mlnx＜0，
從而“?x＞0，g（x）=x²+m（x+lnx）＞0”不成立；
當(dāng)m＜0時，由g（x）=x²+m（x+lnx）＞0，得$\frac{1}{m}＜-（\frac{1}{x}+\frac{lnx}{x^2}）$，
設(shè)$h（x）=-（\frac{1}{x}+\frac{lnx}{x^2}）$，則$h'（x）=\frac{x-1}{x^3}+\frac{2lnx}{x^3}$，當(dāng)x=1時，h'（x）=0，
則當(dāng)0＜x＜1時，h'（x）＜0，h（x）在x＞1上遞減，
當(dāng)x＞1時，h'（x）＞0，h（x）在h（x）≥h（1）=-1上遞增，
所以h（x）≥h（1）=-1，即$\frac{1}{m}＜-1$，所以-1＜m＜0
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是-1＜m≤0；
②由①知，當(dāng)m=-1時，g（x）=x²+m（x+lnx）≥0在x²-x≥lnx上恒成立，
即x²-x≥lnx在$\frac{lnx}{x}≤x-1$上恒成立，即$\frac{lnx}{x}≤x-1$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{ln2}{2}＜1，\frac{ln3}{3}＜2，\frac{ln4}{4}＜3，…\frac{lnn}{n}＜n-1$時等號成立．
所以有$\frac{ln2}{2}＜1，\frac{ln3}{3}＜2，\frac{ln4}{4}＜3，…\frac{lnn}{n}＜n-1$，
疊加得$\frac{ln2}{2}+\frac{ln3}{3}+\frac{ln4}{4}+…+\frac{lnn}{n}＜1+2+3+…+（n-1）=\frac{n（n-1）}{2}$，
即$\frac{ln2}{2}+\frac{ln3}{3}+\frac{ln4}{4}+…+\frac{lnn}{n}＜\frac{n（n-1）}{2}$
可得$ln（\sqrt{2}•\root{3}{3}•\root{4}{4}•\root{5}{5}…\root{n}{n}）＜\frac{n（n-1）}{2}$
所以$\sqrt{2}•\root{3}{3}•\root{4}{4}•\root{5}{5}…\root{n}{n}＜{e^{\frac{n（n-1）}{2}}}$得證．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和綜合法證明不等式的方法，注意運(yùn)用累加法和對數(shù)的性質(zhì)，本題也可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．