Question

6．已知函數(shù)f（x）=xlnx，過點(diǎn)A（-$\frac{1}{{e}^{2}}$，0）作函數(shù)y=f（x）圖象的切線，則切線的方程為x+y+$\frac{1}{{e}^{2}}$=0．

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)（m，n），求得導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切線方程，代入點(diǎn)A，設(shè)f（m）=me²+1+lnm，運(yùn)用單調(diào)性，解方程可得m，進(jìn)而得到切線的方程．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
函數(shù)f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=lnx+1，
可得切線的斜率為1+lnm，
切線的方程為y-mlnm=（1+lnm）（x-m），
代入點(diǎn)A（-$\frac{1}{{e}^{2}}$，0），可得
-mlnm=（1+lnm）（-$\frac{1}{{e}^{2}}$-m），
化為me²+1+lnm=0，（*）
設(shè)f（m）=me²+1+lnm，f′（m）=e²+$\frac{1}{m}$＞0，f（m）遞增，
由f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=0，可得方程（*）的解為m=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
則切線的方程為x+y+$\frac{1}{{e}^{2}}$=0．
故答案為：x+y+$\frac{1}{{e}^{2}}$=0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和設(shè)出切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．