Question

16．已知函數f（x）=ax²-（a+2）x+lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）的點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＞0時，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，結合函數的最小值，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²-3x+lnx（x＞0），
∴$f'（x）=2x-3+\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$，∴f（1）=-2，f'（1）=0．
∴切線方程為y=-2．
（2）函數f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域為（0，+∞），
當a＞0時，$f'（x）=2ax-（{a+2}）+\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}-（{a+2}）x+1}}{x}$=$\frac{{（{2x-1}）（{ax-1}）}}{x}$，
令f'（x）=0得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{1}{a}$．
①當$0＜\frac{1}{a}≤1$，即a≥1時，f（x）在[1，e]上遞增．
∴f（x）在[1，e]上的最小值為f（1）=-2，符合題意；
②當$1＜\frac{1}{a}＜e$，即$\frac{1}{e}＜a＜1$時，f（x）在$[{1，\frac{1}{a}}]$上遞減，在$[{\frac{1}{a}，e}]$上遞增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值為$f（{\frac{1}{a}}）＜f（1）=-2$，不合題意；
③當$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e]上遞減，
∴f（x）在[1，e]上的最小值為f（e）＜f（1）=-2，不合題意；
綜上，a的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．