Question

13．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，且斜邊AB=2$\sqrt{2}$，側(cè)棱AA₁=3，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AA₁上，AE=λAA₁（λ為實(shí)數(shù)）．
（1）求證：不論λ取何值時，恒有CD⊥B₁E；
（2）求多面體C₁B-ECD的體積．

Answer 1

分析 （1）證明CD⊥平面ABB₁A₁即可得出CD⊥B₁E；
（2）將多面體分解成棱錐C₁-CDE和棱錐C₁-BCD，分別求出兩個小棱錐的體積即可．

解答 證明：（1）∵AC=BC，點(diǎn) D 為 AC 的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，
∵AA₁⊥平面 ABC，CD?平面 ABC，
∴AA₁⊥CD，
又AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
又不論λ取何值B₁E?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥B₁E．
（2）∵AB=2$\sqrt{2}$，AC⊥BC，∴AC=BC=2，
∴V${\;}_{{C}_{1}-CDE}$=V${\;}_{D-C{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$V${\;}_{B-C{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△C{C}_{1}E}$•BC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×2$=1．
又V${\;}_{{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×3$=1，
所以多面體C₁B-ECD的體積為V${\;}_{{C}_{1}-CDE}$+V${\;}_{{C}_{1}-BCD}$=2．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．