Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$，x∈[2，6]
（1）求證：函數(shù)f（x）是區(qū)間[2，6]上的減函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]內(nèi)的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義法，證明函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[2，6]上是減函數(shù)，故最大值在左端點(diǎn)取到，最小值在右端點(diǎn)取到，求出兩個(gè)端點(diǎn)的值即可．

解答 （1）證明：設(shè)x₁、x₂是區(qū)間[2，6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$，
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)y=$\frac{2}{x-1}$是區(qū)間[2，6]上的減函數(shù)；
（2）解：由（1）得：
函數(shù)y=$\frac{2}{x-1}$在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值，
即當(dāng)x=2時(shí)，y_max=2；
當(dāng)x=6時(shí)，y_min=$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，用單調(diào)性求最值是單調(diào)性的最重要的應(yīng)用．