Question

9．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面邊長(zhǎng)AB=2，AB₁⊥BC₁，點(diǎn)O、O₁分別是邊AC，A₁C₁的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；
（Ⅱ）求異面直線AB₁與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依據(jù)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=0$求正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)．
（Ⅱ）利用向量法求出cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{BC}$＞，即可得到異面直線AB₁與BC所成角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為h，
由題意得 A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），A₁（0，-1，h），B₁（$\sqrt{3}$，0，h），c₁（0，1，h）．
$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（\sqrt{3}，1，h），\overrightarrow{B{C}_{1}}=（-\sqrt{3}，1，h）$，
$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-3+1+{h}^{2}=0$所以h=$\sqrt{2}$           …（6分）
（Ⅱ）$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{BC}=-3+1=-2$，|AB₁|=$\sqrt{6}$，|BC|=2，
，cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{-2}{2\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$ …（9分）
所以異面直線AB₁與BC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正三棱柱的性質(zhì)，及異面直線所成角計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．