Question

已知m∈R，函數(shù)f（x）=x²-mx+m．
（1）若存在x使得f（x）＜0，求m的取值范圍；
（2）若實x₁，x₂數(shù)滿足x₁＜x₂，且f（x₁）≠f（x₂），證明：方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]至少有一個實根x₀∈（x₁，x₂）；
（3）設F（x）=f（x）+1-m-m²，且|F（x）|在[0，1]上單調遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）存在x使得f（x）＜0可化為f（x）=x²-mx+m=0有兩個不同的根，從而由判別式求解；
（2）令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，從而利用函數(shù)零點的判定定理可得g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]在（x₁，x₂）上有零點，從而證明方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]至少有一個實根x₀∈（x₁，x₂）；
（3）化簡F（x）=f（x）+1-m-m²=x²-mx+1-m²，從而轉化|F（x）|在[0，1]上單調遞增，為

m≤0 F(0)≥0

或

m 2 ≥1 F(0)≤0

，從而解得．

解答： 解：（1）∵存在x使得f（x）＜0，
∴f（x）=x²-mx+m=0有兩個不同的根，
∴△=m²-4m＞0，
∴m＞4或m＜0；
（2）證明：令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
易知g（x）在其定義域內連續(xù)，
且g（x₁）•g（x₂）={f（x₁）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]}•{f（x₂）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]}
=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]²＜0，
則g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]在（x₁，x₂）上有零點，
即方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]至少有一個實根x₀∈（x₁，x₂）；
（3）F（x）=f（x）+1-m-m²=x²-mx+1-m²，
又∵|F（x）|在[0，1]上單調遞增，
∴

m≤0 F(0)≥0

或

m 2 ≥1 F(0)≤0

；
解得，-1≤m≤0或m≥2．
即實數(shù)m的取值范圍為[-1，0]∪[2，+∞）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質及應用，零點的判定定理的應用，同時考查了絕對值函數(shù)的性質應用，屬于中檔題．