Question

8．如圖，E是矩形ABCD中AD邊上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，AB=AE=$\frac{2}{3}$AD=4，現(xiàn)將△ABE沿BE邊折至△PBE位置，并使平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE⊥平面PEF．
（1）求$\frac{DF}{FC}$的比值；
（2）求二面角E-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面BCDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出$\frac{DF}{FC}$的比值．
（2）求出平面PBC的法向量和平面PBE的法向量，利用向量法能求出二面角E-PB-C的余弦值．

解答 解：（1）以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DC為y軸，過(guò)D作平面BCDE的垂線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
P（4，2，2$\sqrt{2}$），B（6，4，0），E（2，0，0），設(shè)F（0，t，0），
$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PE}$=（-2，-2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PF}$=（-4，t-2，-2$\sqrt{2}$），
設(shè)平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x+2y-2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=-2x-2y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
設(shè)平面PEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=-2a-2b-2\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PF}=-4a+（t-2）b-2\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取b=2，得$\overrightarrow{m}$=（t，2，-$\frac{t+2}{\sqrt{2}}$），
∵平面PBE⊥平面PEF，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=t-2=0，解得t=2．
∴DF=2，F(xiàn)C=4-2=2，
∴$\frac{DF}{FC}$=1．
（2）C（0，4，0），$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（-4，2，-2$\sqrt{2}$），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PB}=2x+2y-2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PC}=-4x+2y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{p}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
由（1）得平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由圖形得二面角E-PB-C的平面角為銳角，
∴二面角E-PB-C的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線段比值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．