Question

18．如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且M為AE的中點(diǎn)，CE=CA=2BD．
（1）求證：DM∥平面ABC；
（2）求證：平面DEA⊥平面ECA；
（3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定定理即可證明DM∥平面ABC；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面DEA⊥平面ECA；
（3）利用體積法建立方程即可求點(diǎn)E到平面ACD的距離

解答 證明：（1）過點(diǎn)M在△ABC中作MN∥CE，交AC于N，連接BN，
∵CE⊥平面AB，DB⊥平面ABC
∴CE∥DB
又∵CE=2BD=2，M為AE的中點(diǎn)
∴NM∥CE，NM=$\frac{1}{2}$CE
∴NM∥BD，NM=BD，
∴四邊形DMNB是平行四邊形
∴DM∥BN
又∵BN平面?ABC，DM?平面ABC
∴DM∥平面ABC…．（4分）
（2）∵CE⊥平面ABC　BN?平面ABC∴CE⊥BN　即BN⊥CE
又∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且N為AC中點(diǎn)∴BN⊥AC
又∵AC∩CE=C　AC，CE?平面ACE∴BN⊥平面ACE
由第（1）問知：BN∥DM
∴DM⊥平面ACE  又∵DM?平面DEA
∴平面DEA⊥平面AEC          …．（8分）
（3）∵CE⊥平面ABC，AC?平面AB∴CE⊥AC
又∵CE=AC=2，∴${S}_{△ACE}=\frac{1}{2}×2×2=2$
由第（1）、（2）問知：DM⊥平面ABC；DM=BN=$\sqrt{3}$
又∵DB⊥平面ABC，AB?平面ABC∴DB⊥AB
即在Rt△DBC中，CD=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$
∴在△ADC中，AD=CD=$\sqrt{5}$，AC=2
∴${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{5-1}=2$            …（10分）
設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h，
則　$\frac{1}{3}•{S}_{ACE}•DM=\frac{1}{3}•{S}_{△ACD}•h$，即　2-$\sqrt{3}$=2-h，∴h=$\sqrt{3}$
即點(diǎn)E到平面ACD的距離為$\sqrt{3}$           …..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行以及面面垂直的判斷以及點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算，利用體積法是解決本題的關(guān)鍵．