Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x²-ax，如果函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）證明：x₁＜ln2；
（Ⅱ）求f（x₁）的最小值，并指出此時(shí)a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意，函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，即f'（x）=0有兩個(gè)根x₁，x₂，令h（x）=e^x-2x-a，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)h（x）的最小值，即可得所證結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中可知，h（x₁）=0，利用參變量分離法，可得a=e^x₁-2x₁，即可得到f（x₁）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)f（x₁）的單調(diào)性，從而確定最值，即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-x²-ax，
∴f′（x）=e^x-2x-a，
∵函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，即y=f'（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，
∴方程e^x-2x-a=0有兩個(gè)不同的根x₁，x₂，
令h（x）=e^x-2x-a，h′（x）=e^x-2，
當(dāng)x＜ln2時(shí)，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x＞ln2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，
∴h（x）在x=ln2時(shí)取得最小值．
∴x₁＜ln2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，h（x₁）=0，即e^x₁-2x₁-a=0，
∴a=e^x₁-2x₁，
∴f（x₁）=e^x₁-x₁²-（e^x₁-2x₁）x₁=（1-x₁）e^x₁+x₁²，
∴f′（x₁）=x₁（2-e^x₁），
∵x₁＜ln2，
∴2-e^x₁＞0．
∴當(dāng)x₁＜0時(shí)，f′（x₁）＜0，f（x₁）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
當(dāng)0≤x₁＜ln2時(shí)，f′（x₁）＞0，f（x₁）在[0，ln2）上是增函數(shù)，
∴f（x₁）在（-∞，ln2）上的最小值為f（0）=1，此時(shí)a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．解題時(shí)要注意運(yùn)用極值點(diǎn)必定是導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，而導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根不一定是極值點(diǎn)．屬于中檔題．