Question

4．設函數(shù)f（x）=-（x-1）²-blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當b＞$\frac{1}{2}$時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的有極值點，求b的取值范圍及f（x）的極值點．

Answer 1

分析 （1）首先函數(shù)的定義域為（0，+∞），然后求出函數(shù)的導數(shù)f′（x），將f′（x）變形后，再結(jié)合x＞0和b＞$\frac{1}{2}$得f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不相等的實數(shù)根時，函數(shù)有極值．然后利用根的判別式算得當b＜$\frac{1}{2}$時，函數(shù)存在極值點，最后根據(jù)b≤0和0＜b＜$\frac{1}{2}$兩種情況分別得出函數(shù)的極值點．

解答 解：（1）f′（x）=-2（x-1）-$\frac{x}$=-$\frac{{2（x-\frac{1}{2}）}^{2}+b-\frac{1}{2}}{x}$，
當b＞$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）遞減；
（2）①由（1），b＞$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）無極值點，
②b=$\frac{1}{2}$時，有2個相同的解x=$\frac{1}{2}$，
∴b=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）無極值點，
③b＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）=0有兩個不同的解，
x₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$，x₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$，
∴（i）b≤0時，x₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$≤0∉（0，+∞），舍去，
而x₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$≥1∈（0，+∞），
此時f′（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如下表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值	遞減

由此表可知：當b≤0時，f（x）有唯一極大值點，x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$，
（ii）   當0＜b＜$\frac{1}{2}$時，0＜x₁＜x₂＜1 此時，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

由此表可知：當0＜b＜$\frac{1}{2}$時，f（x）有一個極小值x₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$和一個極大值點x₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$；
綜上所述：當且僅當b＜$\frac{1}{2}$時f（x）有極值點；
當b≤0時，f（x）有唯一最大值點x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$；
當0＜b＜$\frac{1}{2}$時，f（x）有一個極小值點x=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$和一個極大值點x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和含有字母參數(shù)的函數(shù)極值的討論，屬于中檔題．