Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為（），且，，成等差數(shù)列．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：第一問(wèn)首先將代入題中所給的式子，求得，之后類比著寫出時(shí)對(duì)應(yīng)的式子，兩式相減求得，從而確定出數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)一步求得其通項(xiàng)公式；第二問(wèn)利用題中條件求得其公比，借助其首項(xiàng)，利用等比數(shù)列求得其通項(xiàng)公式，之后觀察是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積所構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和即可.

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，

即，

因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，，

即，

因?yàn)?/span>，所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，

所以．

（2）因?yàn)閿?shù)列首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列，

所以，即，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，則，

，①

則，②

由①②得 ，

所以．