Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x-1|-|2x+3|．
（I）解不等式f（x）＞2；
（II）若關(guān)于x的不等式f（x）≤$\frac{3}{2}$a²-a的解集為R，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，解不等式，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最大值，問題轉(zhuǎn)化為$\frac{3}{2}$a²-a≥$\frac{5}{2}$，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x-1|-|2x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{x+4，x≤-\frac{3}{2}}\\{-3x-2，-\frac{3}{2}＜x＜1}\\{-x-4，x≥1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤-$\frac{3}{2}$時，由x+4＞2，解得：x＞-2，即-2＜x≤-$\frac{3}{2}$；
當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜x＜1時，由-3x-2＞2，解得：x＜2，即-$\frac{3}{2}$＜x＜-$\frac{4}{3}$；
當(dāng)x≥1時，由-x-4＞2，解得：x＜-6，無解；
所以原不等式的解集為{x|-2＜x＜-$\frac{4}{3}$}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在x=-$\frac{3}{2}$處取函數(shù)的最大值f（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{5}{2}$，
要使關(guān)于x的不等式f（x）≤$\frac{3}{2}$a²-a的解集為R，只需$\frac{3}{2}$a²-a≥$\frac{5}{2}$，
即3a²-2a-5≥0，解得a≤-1或a≥$\frac{5}{3}$，
又a為正數(shù)，則a≥$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．