Question

1．若△ABC的BC邊上的高AD=BC，則$\frac{AC}{AB}$+$\frac{AB}{AC}$的取值范圍是$[2，\sqrt{5}]$．

Answer 1

分析 設(shè)AC=b，AB=c，BC=a，則$\frac{AC}{AB}+\frac{AB}{AC}$=$\frac{c}+\frac{c}$，利用三角形的兩個(gè)面積公式和等面積法列出方程表示出sinA，由余弦定理表示出cosA，化簡(jiǎn)后求出$\frac{c}+\frac{c}$的表達(dá)式，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的最大值求出$\frac{c}+\frac{c}$的最大值，利用基本不等式求出$\frac{c}+\frac{c}$的最小值，即可求出$\frac{AC}{AB}+\frac{AB}{AC}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)AC=b，AB=c，BC=a，則$\frac{AC}{AB}+\frac{AB}{AC}$=$\frac{c}+\frac{c}$，
∵AD為BC邊上的高，且AD=a，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}a•a=\frac{1}{2}bcsinA$，則sinA=$\frac{{a}^{2}}{bc}$，
由余弦定理得，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{c}+\frac{c}$）-$\frac{{a}^{2}}{2bc}$，
∴$\frac{c}+\frac{c}$=2（$\frac{{a}^{2}}{2bc}$+cosA）=sinA+2cosA=$\sqrt{5}$sin（A+α），
其中sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)sin（A+α）=1時(shí)，$\frac{c}+\frac{c}$取到最大值是$\sqrt{5}$，
又∵$\frac{c}+\frac{c}≥2\sqrt{\frac{c}•\frac{c}}$=2（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)），
∴$\frac{c}+\frac{c}$的最小值是2，
綜上可得，$\frac{c}+\frac{c}$的取值范圍是$[2，\sqrt{5}]$，
即$\frac{AC}{AB}+\frac{AB}{AC}$的取值范圍是$[2，\sqrt{5}]$，
故答案為：$[2，\sqrt{5}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積公式，余弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，以及基本不等式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．