在平面直角坐標(biāo)系中，記拋物線y=x-x2與x軸所圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，該拋物線與直線y=kx（k＞0）所圍成的平面區(qū)域?yàn)锳，向區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)P，若點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為
8
27
，則k的值為
1
3
1
3
．
分析：根據(jù)定積分的幾何意義，利用定積分計(jì)算公式算出拋物線y=x-x2與x軸所圍成的平面區(qū)域M的面積S=
1
6
，從而由幾何概型公式算出拋物線與y=kx圍成的平面區(qū)域A的面積為S'=
4
81
．由此算出y=x-x2與y=kx在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用定積分公式建立關(guān)于k的方程，解之即可得到實(shí)數(shù)k的值．
解答：解：∵拋物線y=x-x2與x軸交于點(diǎn)（0，0）與（1，0），
∴根據(jù)定積分的幾何意義，可得拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域M的面積為
S=
∫
1
0
（x-x2）dx=（
1
2
x2-
1
3
x3）
|
1
0
=
1
6
．
設(shè)拋物線與直線y=kx（k＞0）所圍成的平面區(qū)域A的面積為S'，
∵向區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)P，點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為
8
27
，
∴
S′
S
=
8
27
，可得S'=
8
27
S=
4
81
．
求出y=x-x2與y=kx的交點(diǎn)中，除原點(diǎn)外的點(diǎn)B坐標(biāo)為（1-k，k-k2），
可得S'=
∫
1-k
0
[（x-x2）-kx]dx=[
1
2
（1-k）x2-
1
3
x3]
|
1-k
0
=
1
6
（1-k）3．
因此可得
1
6
（1-k）3=
4
81
，解之得k=
1
3
．
故答案為：
1
3
點(diǎn)評(píng)：本題給出幾何概型的概率，求直線的斜率k的值．著重考查了定積分計(jì)算公式、定積分的幾何意義和幾何概型公式等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn)，若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則r=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案