Question

3．已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，f（x）＜0的解集為（0，$\frac{2}{3}$），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N⁺）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得T_n＜$\frac{m}{20}$對所有n∈N⁺都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)f（x）的表達式，結(jié)合數(shù)列的前n項和公式即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，利用裂項法進行求解，解不等式即可．

解答 解：（1）設(shè)這二次函數(shù)f（x）=ax²+bx （a≠0），則 f′（x）=2ax+b，由f（x）＜0的解集為（0，$\frac{2}{3}$），
得a=3，b=-2，所以  f（x）=3x²-2x．
又因為點（n，S_n）（n∈N⁺）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，所以S_n=3n²-2n．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-3（n-1）²-2（n-1）=6n-5．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3×1²-2=6×1-5，所以，a_n=6n-5 （n∈N⁺）
（2）由（Ⅰ）得知b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n-1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
故T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$），
因此，要使T_n＜$\frac{m}{20}$，即$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）＜$\frac{m}{20}$，成立的m，必須且僅須滿足$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{20}$，
即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式以及數(shù)列求和的應(yīng)用，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵．