Question

10．設(shè)F是橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（1，2），M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則MA+MF取值范圍為（6-2$\sqrt{2}$，6+2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 橢圓左焦點(diǎn)設(shè)為F₁，連接MF₁．利用橢圓的定義以及在三角形中，兩邊之差總小于第三邊，當(dāng)A、M、F₁成一直線時(shí)，|MA|-|MF₁|最大，求解即可．利用|MA|+|MF₂|=|MA|+6-|MF₁|=10-（|MF₁|-|MA|）≥6-|AF₁|，即可得出其最小值．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1的焦點(diǎn)在x軸上，a=3，b=2$\sqrt{2}$，c=1，
左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），連接MF₁．
由橢圓的定義可知：|MF₁|+|MF|=2a，
|MA|+|MF|=|MA|+2a-|MF₁|=6+|MA|-|MF₁|．
即|MA|-|MF₁|最大時(shí)，|MA|+|MF₂|最大．
在△AMF₁中，兩邊之差總小于第三邊，所以當(dāng)A、M、F₁成一直線時(shí)，|MA|-|MF₁|最大，
|MA|-|MF₁|=|AF₁|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴|MA|+|MF₂|的最大值是6+2$\sqrt{2}$．
∴|MA|+|MF₂|=|MA|+6-|MF₁|=6-（|MF₁|-|MA|）≥10-|AF₁|=6-2$\sqrt{2}$，
∴|MA|+|MF|的取值范圍（6-2$\sqrt{2}$，6+2$\sqrt{2}$），
故答案為：（6-2$\sqrt{2}$，6+2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓錐曲線的定義的應(yīng)用，在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．