Question

8．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$ （x≠0，常數(shù)a∈R）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若f（1）=2，試判斷f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，可得答案；
（2）解法一，任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，判斷f（x₁），f（x₂）的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案；
解法二：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)法，可判斷f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$ 的定義域為{x|x≠0}關(guān)于原點對稱，
∵f（-x）=-x-$\frac{a}{x}$=-（x+$\frac{a}{x}$ ）=-f（x），
∴函數(shù)是奇函數(shù)．（3分）
（2）解法一：
若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，這時f（x）=x+$\frac{1}{x}$．（1分）
任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
f（x₁）-f（x₂）x₁-x₂）（=${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$-（${x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＜0，
 所以f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[2，+∞）上是遞增的．（4分）
解法二：若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，這時f（x）=x+$\frac{1}{x}$．（1分）
則f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在[2，+∞）上恒成立，
故f（x）在[2，+∞）上是遞增的．（4分）

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．