Question

【題目】設(shè)橢圓方程為，離心率為， 是橢圓的兩個焦點(diǎn)， 為橢圓上一點(diǎn)且， 的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)，直線不經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之和為1，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析， .

【解析】試題分析：

（1）由離心率可得，根據(jù)的面積為得到，然后在焦點(diǎn)三角形中利用余弦定理并結(jié)合定義可得，進(jìn)而得到， ，于是得到橢圓的方程．（2）由題意設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程后得到二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及可得，故直線方程為，即，可得過定點(diǎn).

試題解析：

(1)由題意得，故．

∵，∴，

又， ，

在中，由余弦定理得

，

∴,

解得，

∴．

∴，

∴橢圓的方程為.

（2）由題意設(shè)直線方程為，

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴．

設(shè)點(diǎn)， ，

則，

由題意得，

即，

∴

整理得，

∴直線方程為，即，

∴直線過定點(diǎn).