Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx+1}{x}$．
（Ⅰ）求曲線y=f（x） 在函數(shù)f（x） 零點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x） 的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若關(guān)于x 的方程f（x）=a 恰有兩個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：${x_2}-{x_1}＞\frac{1}{a}-1$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算切線的斜率，從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到方程f（x）=a 有兩個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂ 時(shí)，必有0＜a＜1，且e^-1＜x₁＜1＜x₂，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）令f（x）=0，得$x=\frac{1}{e}$，
所以，函數(shù)f（x） 零點(diǎn)為$\frac{1}{e}$，
由$f（x）=\frac{lnx+1}{x}$ 
得$f'（x）=\frac{{\frac{1}{x}•x-（lnx+1）}}{x^2}=\frac{-lnx}{x^2}$，
所以$f'（\frac{1}{e}）={e^2}$，
所以曲線y=f（x） 在零點(diǎn)處的切線方程為$y-0={e^2}（x-\frac{1}{e}）$，
即y=e²x-e．
（Ⅱ）由函數(shù)$f（x）=\frac{lnx+1}{x}$ 得定義域?yàn)椋?，+∞）．
令f'（x）=0，得x=1．
所以，在區(qū)間（0，1）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間（1，+∞） 上，f'（x）＜0．
故函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f（x） 在（0，e^-1） 上f（x）＜0，
在（e^-1，+∞） 上f（x）＞0．
由（Ⅱ）結(jié)論可知，函數(shù)f（x） 在x=1 處取得極大值f（1）=1，
所以，方程f（x）=a 有兩個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂ 時(shí)，
必有0＜a＜1，且e^-1＜x₁＜1＜x₂，
法1：所以$f（\frac{1}{a}）=a（1-lna）＞a=f（{x_2}）$，
由f（x） 在（1，+∞） 上單調(diào)遞減可知${x_2}＞\frac{1}{a}$，
所以${x_2}-{x_1}＞\frac{1}{a}-1$；
法2：由f（x）=a，可得lnx+1=ax，兩個(gè)方程同解．
設(shè)g（x）=lnx+1-ax，則$g'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$，
當(dāng)0＜a＜1 時(shí)，由g'（x）=0，得$x=\frac{1}{a}$，
所以g（x），g'（x） 在區(qū)間（0，+∞） 上的情況如下：

x	$（0，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	$（\frac{1}{a}，+∞）$
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大	↘

所以${x_1}＜\frac{1}{a}$，${x_2}＞\frac{1}{a}$，所以${x_2}-{x_1}＞\frac{1}{a}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．