Question

17．設(shè)a＞0，已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{x}-ln（x+a）$（x＞0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）試判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是否有兩個(gè)零點(diǎn)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）法一：假設(shè)2個(gè)零點(diǎn)，推出矛盾即可；法二：通過(guò)討論a的范圍，判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-\frac{1}{x+a}$，----------------------------------------------------------------（1分）
$f'（x）＞0?x+a＞2\sqrt{x}?{x^2}+2（a-2）x+{a^2}＞0$，
f'（x）＜0?x²+2（a-2）x+a²＜0，
設(shè)g（x）=x²+2（a-2）x+a²，則△=16（1-a），
①當(dāng)a≥1時(shí)，△≤0，g（x）≥0，即f'（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；-----------------------------------------------------------------（3分）
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，△＞0，
由g（x）=0得${x_1}=\frac{{4-2a-4\sqrt{1-a}}}{2}=2-a-2\sqrt{1-a}$，${x_2}=2-a+2\sqrt{1-a}$，-----------------------------------------------------------------------------（4分）
可知0＜x₁＜x₂，由g（x）的圖象得：f（x）在$（0，\;2-a-2\sqrt{1-a}）$和$（2-a+2\sqrt{1-a}，\;+∞）$上單調(diào)遞增；--------------------（5分）
f（x）在$（2-a-2\sqrt{1-a}$，$2-a+2\sqrt{1-a}）$上單調(diào)遞減．---------------------------------（6分）
（Ⅱ）解法1：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上不存在兩個(gè)零點(diǎn)----------------------------------------------（7分）
假設(shè)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，由（Ⅰ）知，0＜a＜1，
因?yàn)閒（0）=-lna＞0，則f（x₂）＜0，即$\sqrt{x_2}＜ln（{x_2}+a）$，
由f'（x₂）=0知${x_2}+a=2\sqrt{x_2}$，所以$\sqrt{x_2}＜ln（2\sqrt{x_2}）$，
設(shè)$\sqrt{x_2}=t$，則t＜ln（2t）（*），-----------------------------------------------------------------（9分）
由${x_2}=2-a+2\sqrt{1-a}∈（1，\;4）$，得t∈（1，2），
設(shè)h（t）=t-ln（2t），得$h'（t）=1-\frac{1}{t}＞0$，-------------------------------------------------（10分）
所以h（t）在（1，2）遞增，得h（t）＞h（1）=1-ln2＞0，即t＞ln（2t），
這與（*）式矛盾，---------------------------------------------------------------------------------（11分）
所以上假設(shè)不成立，即函數(shù)f（x）沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)．------------------------------------------（12分）
解法2：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上不存在兩個(gè)零點(diǎn)；-------------------------------------------------（7分）
由（Ⅰ）知當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)零點(diǎn)；-----------------------------------------------------（8分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵f（0）=-lna＞0，
由（Ⅰ）知當(dāng)x=x₂時(shí)，f（x）有極小值，$f{（x）_{極小}}=f（{x_2}）=\sqrt{x_2}-ln（{x_2}+a）$=$\sqrt{1-a}+1-ln[2（\sqrt{1-a}+1）]$，---------------------（9分）
令$\sqrt{1-a}+1=t$，則1＜t＜2，f（x）_極小=t-ln（2t），
設(shè)h（t）=t-ln（2t），得$h'（t）=1-\frac{1}{t}＞0$，------------------------------------------------------（10分）
∴h（t）在（1，2）單調(diào)遞增，得h（t）＞h（1）=1-ln2＞0，即f（x）_極小＞0，
可知當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）不存在零點(diǎn)；
綜上可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上不存在兩個(gè)零點(diǎn)．-------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道綜合題．