Question

20．設函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$-2+2alnx．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的最值；
（2）若f（x）＞-2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間，即可得到最小值．求得端點處的函數(shù)值，可得最大值；
（2）求出f（x）的導數(shù)，討論a=0，a＞0，a＜0，判斷單調性，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）當a=1時，$f（x）=\frac{2}{x}-2+2lnx$，其定義域為（0，+∞），
則f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＜0，得0＜x＜1；令f′（x）＞0，得x＞1，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上的最小值為f（1）=0；
又$f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$，f（2）=-1+2ln2，且$f（2）-f（\frac{1}{2}）=4ln2-3=ln16-3＜0$，
所以$f（2）＜f（\frac{1}{2}）$，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上的最大值為$f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$．
（2）${f^'}（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{2a}{x}=\frac{2ax-2}{x^2}$，
①當a＞0時，令f′（x）＜0，得$x＜\frac{1}{a}$；令f′（x）＞0，得$x＞\frac{1}{a}$，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$（0，\frac{1}{a}）$上單調遞減，在區(qū)間$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調遞增．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為$f（\frac{1}{a}）$；
若f（x）＞-2恒成立，則$f（\frac{1}{a}）＞-2$，即2a-2-2alna＞-2，即2a（1-lna）＞0，
又因為a＞0，所以1-lna＞0，解得a＜e，所以0＜a＜e；
②當a=0時，$f（x）=\frac{2}{x}-2＞-2$恒成立，所以a=0符合題意；
③當a＜0時，令f′（x）＜0，得$x＞\frac{1}{a}$；令f′（x）＞0，得$x＜\frac{1}{a}$，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$（0，\frac{1}{a}）$上單調遞增，在區(qū)間$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調遞減．
數(shù)形結合易知，一定存在某個x₀＞0，使得在區(qū)間（x₀，+∞）上，
函數(shù)$y=\frac{2}{x}$的圖象在函數(shù)y=-2alnx的圖象的下方，
即滿足$\frac{2}{x}＜-2alnx$，即$\frac{2}{x}-2+2alnx＜-2$，即f（x）＜-2．
所以f（x）＞-2不恒成立，故a＜0不符合題意，舍去；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[0，e）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法和轉化思想，運用函數(shù)的單調性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．