Question

2．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F，H，O，O′分別為BC，CC₁，A₁A，BD，B₁D₁的中點(diǎn)．求證：
（1）EF∥AD₁；
（2）BF∥HD₁．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BC₁，推導(dǎo)出EF∥BC₁，AD₁∥BC₁，由此能證明EF∥AD₁．
（2）推導(dǎo)出平面A${\;}_{{1}_{\;}}$D₁H∥平面CBF，且A₁D₁$\underset{∥}{=}$BC，A₁H$\underset{∥}{=}$CF，由此能證明BF∥HD₁．

解答 證明：（1）連結(jié)BC₁，
∵E、F分別為BC，CC₁的中點(diǎn)，
∴EF∥BC₁，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁∥BC₁，
∴EF∥AD₁．
（2）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
E、F，H，O，O′分別為BC，CC₁，A₁A，BD，B₁D₁的中點(diǎn)，
∴平面A${\;}_{{1}_{\;}}$D₁H∥平面CBF，且A₁D₁$\underset{∥}{=}$BC，A₁H$\underset{∥}{=}$CF，
∴BF與HD₁共面，∴BF∥HD₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．