如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，，，是的中點(diǎn)，四面體的體積為.

（1）求過點(diǎn)P，C，B，G四點(diǎn)的球的表面積；
（2）求直線到平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.

（1）；（2）；（3）存在，.

解析試題分析：（1）首先由四面體的體積可以求出高.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/1/ysbk72.png" style="vertical-align:middle;" />兩兩垂直，所以以為同一頂點(diǎn)的三條棱構(gòu)造長方體，長方體的外接球即為過點(diǎn)P，C，B，G四點(diǎn)的球，其直徑就是長方體的體對角線.
（2）由于面面，所以只需在面ABCD內(nèi)過點(diǎn)D作交線BG的垂線，即可得PD在面PBG內(nèi)的射影，從而得PD與面PBG所成的角. （3）首先假設(shè)存在，然后確定的位置，若能在上找到點(diǎn)使則說明這樣的點(diǎn)F存在.與是異面的兩條直線，我們通過轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化這相交的兩條直線的垂直問題.那么如何轉(zhuǎn)化？過作交GC于，則只要即可.這樣確定的位置容易得多了.
試題解析：（1）由四面體的體積為.∴.
以構(gòu)造長方體，外接球的直徑為長方體的體對角線。
∴∴
∴                3分
（2）由
∴為等腰三角形，GE為的角平分線，作交BG的延長線于K,
∴
由平面幾何知識可知： ，.設(shè)直線與平面所成角為
∴                      8分
（3）假設(shè)存在，過作交GC于，則必有.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/18/d/1grpg3.png" style="vertical-align:middle;" />，且，所以，又.

∴當(dāng)時(shí)滿足條件                    12分
考點(diǎn)：1、多面體的外接球及其表面積；2、線線與平面所成的角；3、異面直線的垂直.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

四棱錐，底面為平行四邊形，側(cè)面底面.已知，，，為線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求面與面所成二面角大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ，直線B1C與平面ABC成45°角.

（1）求證：平面A1B1C⊥平面B1BCC1；
（2）求二面角A—B1C—B的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱柱中，已知平面平面且,.

(1)求證：
(2)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱柱的底面是平行四邊形，且底面，，，°，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E為PA的中點(diǎn)．

（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求異面直線CC1和AB的距離；
(Ⅱ)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，．

（1）求證：；
（2）若 ，在棱上確定一點(diǎn)P， 使二面角的平面角的余弦值為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在三棱錐中,是邊長為2的正三角形,平面平面,,分別為的中點(diǎn).

(1)證明:;
(2)求銳二面角的余弦值;

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