Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，向量

m

=（a，b+c），

n

=（1，cosC+

3

sinC），且

m

∥

n

．
（1）求角A；
（2）若3bc=16-a²，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,正弦定理

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得a(cosC+

3

sinC)=b+c，可求得sin(A-

π

6

)=

1

2

，由A-

π

6

∈(-

π

6

，

5π

6

)，從而解得A的值．
（2）由余弦定理可得16-3bc=b²+c²-bc，可得b+c=4．由三角形面積公式即可得解．

解答： 解：（2）∵

m

∥

n

，
∴a(cosC+

3

sinC)=b+c，…（1分）
∴sinA(cosC+

3

sinC)=sinB+sinC，…（2分）
∴sinAcosC+

3

sinAsinC=sin(A+C)+sinC，
∴

3

sinAsinC=sinCcosA+sinC，
∵sinC≠0，
∴

3

sinA-cosA=1，…（4分）
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

，
∵A-

π

6

∈(-

π

6

，

5π

6

)，
∴A-

π

6

=

π

6

，
∴A=

π

3

．…（6分）
（2）由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，
∴16-3bc=b²+c²-bc，所以（b+c）²=16，所以b+c=4．…（9分）
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

(

b+c

2

)2=

3

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2等號(hào)成立．
∴△ABC面積的最大值為

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量及應(yīng)用，正弦定理、余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．