Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$是定義域在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若f（2t-2）+f（t）＜0，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)為奇函數(shù)，可得b=0，利用f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，可得a=1，從而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）利用函數(shù)單調(diào)增，函數(shù)為奇函數(shù)，可得具體不等式，從而可解不等式．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知f（-x）=-f（x）
∴$\frac{-ax+b}{{x}^{2}+1}$=-$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$
∴-ax+b=-ax-b，∴b=0
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，∴a=1
∴$\frac{x}{{x}^{2}+1}$；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-1，1）時，函數(shù)f（x）單調(diào)增，證明如下：
∵f（x）=$\frac{（1-x）（1+x）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，x∈（-1，1）
∴f′（x）＞0，∴當(dāng)x∈（-1，1）時，函數(shù)f（x）單調(diào)增；
（Ⅲ）∵f（2t-2）+f（t）＜0，且f（x）為奇函數(shù)
∴f（2t-2）＜f（-t）
∵當(dāng)x∈（-1，1）時，函數(shù)f（x）單調(diào)增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜2t-2＜1}\\{-1＜-t＜1}\\{2t-2＜-t}\end{array}\right.$
∴$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{2}{3}$，
∴不等式的解集為（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）

點評 本題主要考查應(yīng)用奇偶性來求函數(shù)解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，還考查了綜合運用奇偶性和單調(diào)性來解不等式的能力，屬于中檔題．