Question

10．在數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項(xiàng)和，且S_n≠0，a₁=1，a_n=$\frac{2{{S}^{2}}_{n}}{2{S}_{n-1}}$（n≥2），求S_n與a_n．

Answer 1

分析 由a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），得S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），整理得，$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，又$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，故數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即可求得結(jié)論．

解答 解：由a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），
得S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，n≥2，
整理得，S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
又$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$=$\frac{2}{8n-4{n}^{2}-3}$，n≥2．
n=1時(shí)，a₁=1不符合，
則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{8n-4{n}^{2}-3}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用公式法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題時(shí)注意式子的合理變形，屬于中檔題．