Question

已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₁=

1

2

，a₅-1恰為S₄與

1

b2

的等比中項，圓C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²，直線l；x+y=n，對任意n∈N^*，直線l都與圓C相切
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}
（Ⅱ）若任意n∈N^*，c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n項和T_n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,直線與圓

分析：（Ⅰ）由題意求出圓C的圓心和半徑，由條件得圓心到直線l：x+y=n的距離等于半徑，化簡后得到數(shù)列遞推公式利用當n≥2時a_n=S_n-S_n-1，驗證n=1后求出a_n，由題意和等比中項的性質(zhì)列出方程，求出等比數(shù)列的公比，代入等比數(shù)列的通項公式求得b_n；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式代入c_n=a_nb_n，由錯位相減法、等比數(shù)列的前n項和公式，求得{c_n}的前n項和T_n的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，圓C（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²的圓心（2n，

Sn

），半徑為

2

n，
因為對任意n∈N^*，直線l：x+y=n都與圓C相切，
所以d=

|2n+ Sn -n|

2

=

2

n，化簡得

Sn

=n，則Sn=n2，
當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
綜上，對任意n∈N^*，a_n=S_n-S_n-1=2n-1．
設等比數(shù)列{b_n}的公比為q，又b₁=

1

2

，則bn=b1qn-1=

1

2

qn-1，
因為a₅-1恰為S₄與

1

b2

的等比中項，a₅=9，S₆=16，

1

b2

=

2

q

，
所以64=16×

2

q

，解得q=

1

2

，則bn=

1

2n

，
所以a_n=2n-1，bn=

1

2n

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c_n=a_nb_n=（2n-1）•

1

2n

，
所以T_n=

1

2

+3•

1

22

+5•

1

23

+…+（2n-1）•

1

2n

，①
則

1

2

T_n=

1

22

+3•

1

23

+5

1

24

+…+(2n-1)•

1

2n+1

，②
由①-②得，

1

2

T_n=

1

2

+2（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-(2n-1)•

1

2n+1

=

1

2

+2×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(2n-1)•

1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
所以T_n=3-

2n+3

2n

．

點評：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，數(shù)列遞推式，以及錯位相減法求數(shù)列的和，考查化簡計算能力，是中檔題．