Question

5．為檢測(cè)空氣質(zhì)量，某市環(huán)保局隨機(jī)抽取了甲、乙兩地2016年20天PM2.5日平均濃度（單位：微克/立方米）監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，得到甲地PM2.5日平均濃度頻率分布直方圖和乙地PM2.5日平均濃度的頻數(shù)分布表．

乙地20天PM2.5日平均濃度頻數(shù)分布表

PM2.5日平均濃度（微克/立方米）	[0，20]	（20，40]	（40，60]	（60，80]	（80，100]
頻數(shù)（天）	2	3	4	6	5

（1）根據(jù)乙地20天PM2.5日平均濃度的頻率分布表作出相應(yīng)的頻率分組直方圖，并通過(guò)兩個(gè)頻率分布直方圖比較兩地PM2.5日平均濃度的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；
（2）通過(guò)調(diào)查，該市市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度從高到低分為三個(gè)等級(jí)：

滿意度等級(jí)	非常滿意	滿意	不滿意
PM2.5日平均濃度（微克/立方米）	不超過(guò)20	大于20不超過(guò)60	超過(guò)60

記事件C：“甲地市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度等級(jí)高于乙地市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度等級(jí)”，假設(shè)兩地市民對(duì)空氣質(zhì)量滿意度的調(diào)查結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，利用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求事件C的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)乙地20天PM2.5日平均濃度的頻率分布表能作出相應(yīng)的頻率分組直方圖，由頻率分布直方圖能求出結(jié)果．
（2）記A₁表示事件：“甲地市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”，A₂表示事件：“甲地市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度等級(jí)為非常滿意”，B₁表示事件：“乙地市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度等級(jí)為不滿意”，B₂表示事件：“乙地市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度等級(jí)為滿意”，則A₁與B₁獨(dú)立，A₂與B₂獨(dú)立，B₁與B₂互斥，C=B₁A₁∪B₂A₂，由此能求出事件C的概率．

解答 解：（1）根據(jù)乙地20天PM2.5日平均濃度的頻率分布表作出相應(yīng)的頻率分組直方圖，如下圖：

由頻率分布直方圖得：
甲地PM2.5日平均濃度的平均值低于乙地PM2.5日平均濃度的平均值，
而且甲地的數(shù)據(jù)比較集中，乙地的數(shù)據(jù)比較分散．
（2）記A₁表示事件：“甲地市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”，
A₂表示事件：“甲地市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度等級(jí)為非常滿意”，
B₁表示事件：“乙地市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度等級(jí)為不滿意”，
B₂表示事件：“乙地市民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度等級(jí)為滿意”，
則A₁與B₁獨(dú)立，A₂與B₂獨(dú)立，B₁與B₂互斥，C=B₁A₁∪B₂A₂，
P（C）=P（B₁A₁∪B₂A₂）=P（B₁）P（A₁）+P（B₂）P（A₂），
由題意P（A₁）=$\frac{9}{10}$，P（A₂）=$\frac{1}{10}$，P（B₁）=$\frac{11}{20}$，P（B₂）=$\frac{7}{20}$，
∴P（C）=$\frac{11}{20}×\frac{9}{10}+\frac{7}{20}×\frac{1}{10}=\frac{53}{100}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件加法公式和相互獨(dú)立事件事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．