Question

已知f（x）=cos（

π

3

-2x）+2sin²x
（1）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域；
（2）銳角△ABC中，f（C）=

3

2

，sinB=

1

3

，求cosA．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過恒等變換把函數(shù)變形成正弦型函數(shù)，然后根據(jù)定義域進(jìn)一步確定函數(shù)的值域
（2）根據(jù)（1）所得的結(jié)果進(jìn)一步確定A、B的正弦值和余弦值，進(jìn)一步求得結(jié)果．

解答： 解：（1）已知f（x）=cos（

π

3

-2x）+2sin²x=cos

π

3

cos2x+sin

π

3

sin2x+2

1-cos2x

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1=sin(2x-

π

6

)+1
∵x∈[0，

π

2

]
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1
∴

1

2

≤f（x）≤2
即f（x）的值域?yàn)椋篬

1

2

，2]
（2）在銳角△ABC中，
∵f（C）=

3

2

∴sin（2C-

π

6

）+1=

3

2

解得：C=

π

6

sinC=

1

2

 cosC=

3

2

∵sinB=

1

3

∴cosB=

2 2

3

cosA=-cos（B+C）=

1-2 6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的定義域和值域，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及相關(guān)的運(yùn)算問題．