Question

10．已知△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且滿足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OC}$=（　�。�

• A． -$\frac{15}{16}$
• B． -$\frac{7}{16}$
• C． $\frac{7}{16}$
• D． $\frac{15}{16}$

Answer 1

分析 先將一個(gè)向量用其余兩個(gè)向量表示出來(lái)，然后借助于平方使其出現(xiàn)向量模的平方，則才好用上外接圓半徑，然后進(jìn)一步分析結(jié)論，容易化簡(jiǎn)出要求的結(jié)果．

解答 解：由$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，得2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$-\overrightarrow{OA}$，
兩邊平方得$（2\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}）^{2}={\overrightarrow{OA}}^{2}$，即$4{\overrightarrow{OB}}^{2}+16\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+16{\overrightarrow{OC}}^{2}={\overrightarrow{OA}}^{2}$，
得$4+16+16\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=1$，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=-\frac{19}{16}$；
由$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，得$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OB}$，
兩邊平方得$（\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OC}）^{2}=4{\overrightarrow{OB}}^{2}$，即${\overrightarrow{OA}}^{2}+8\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}+16{\overrightarrow{OC}}^{2}=4{\overrightarrow{OB}}^{2}$，
得$1+8\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}+16=4$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=-\frac{13}{8}$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OC}$=$（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$-\frac{19}{16}+\frac{13}{8}=\frac{7}{16}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．