Question

1．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，AB=BC=2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD，當(dāng)棱錐A′-PBCD的體積最大時(shí)，PA的長(zhǎng)為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 令PA=x（0＜x＜2），求出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值．

解答 解：令PA=x（0＜x＜2），則A′P=PD=x．BP=2-x，因?yàn)锳′P⊥PD
且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD，
所以${V}_{{A}^{′}-PBCD}=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{6}（2-x）（2+x）x=\frac{1}{6}（4x-{x}^{3}）$，
令f（x）=$\frac{1}{6}（4x-{x}^{3}）$，由f′（x）=$\frac{1}{6}（4-3{x}^{2}）\;=0$得x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值，
即：體積最大時(shí)，PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查四棱錐體積的計(jì)算，以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合，根據(jù)條件求出體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．