1.在△ABC中,∠B=$\frac{π}{2}$,AB=BC=2,P為AB邊上一動點,PD∥BC交AC于點D,現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′,使平面PDA′⊥平面PBCD,當(dāng)棱錐A′-PBCD的體積最大時,PA的長為( 。
A.$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$B.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.1

分析 令PA=x(0<x<2),求出體積表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值.

解答 解:令PA=x(0<x<2),則A′P=PD=x.BP=2-x,因為A′P⊥PD
且平面A′PD⊥平面PBCD,故A′P⊥平面PBCD,
所以${V}_{{A}^{′}-PBCD}=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{6}(2-x)(2+x)x=\frac{1}{6}(4x-{x}^{3})$,
令f(x)=$\frac{1}{6}(4x-{x}^{3})$,由f′(x)=$\frac{1}{6}(4-3{x}^{2})\;=0$得x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
當(dāng)x∈(0,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈($\frac{2\sqrt{3}}{3}$,2)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
所以,當(dāng)x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時,f(x)取得最大值,
即:體積最大時,PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
故選:A

點評 本題主要考查四棱錐體積的計算,以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合,根據(jù)條件求出體積的表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,有一定的難度.

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11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,∠ABC=90°,△ABC≌△ADC,PA=AC=2AB=2,E是線段PC的中點.
(I)求證:DE∥面PAB;
(Ⅱ)求二面角D-CP-B的余弦值.

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12.若m,n是實數(shù),且m>n,則下列結(jié)論成立的是( 。
A.lg(m-n)>0B.($\frac{1}{2}$)m<($\frac{1}{2}$)nC.$\frac{n}{m}$<1D.m2>n2

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9.已知命題p:x2-x≥6,命題q:|x-2|≤3;若p∧q與?q同時為假命題,求實數(shù)x的取值范圍.

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16.(1+a+a2)(a-$\frac{1}{a}}$)6的展開式中的常數(shù)項為( 。
A.-2B.-3C.-4D.-5

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6.隨著電子商務(wù)的發(fā)展,人們的購物習(xí)慣正在改變,基本上所有的需求都可以通過網(wǎng)絡(luò)購物解決.小韓是位網(wǎng)購達(dá)人,每次購買商品成功后都會對電商的商品和服務(wù)進(jìn)行評價.現(xiàn)對其近年的200次成功交易進(jìn)行評價統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如表所示.
對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計
對商品好評8040120
對商品不滿意701080
合計15050200
(1)是否有99.9%的把握認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)?請說明理由;
(2)若針對商品的好評率,采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易,并從中選擇兩次交易進(jìn)行觀察,求只有一次好評的概率.
 P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(K2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d)

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13.已知集合A=[0,4),集合B={x|x2-2x≥3,x∈N},則A∩B=( 。
A.{x|3≤x<4}B.{x|0≤x<3}C.{3}D.{3,4}

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10.已知集合A={x|y=log2(5-2x),x∈N},B={x|3x(x-2)≤1},則A∩B等于( 。
A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x<2}C.{0,1}D.{0,1,2}

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11.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,側(cè)面PAD⊥平面ABCD,∠APD=120°,AB=PA=PD=2,則該四棱錐P-ABCD外接球的體積為( 。
A.$\frac{32π}{3}$B.$\frac{20\sqrt{5}π}{3}$C.8$\sqrt{6}$πD.36π

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