Question

11．四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，∠APD=120°，AB=PA=PD=2，則該四棱錐P-ABCD外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． $\frac{20\sqrt{5}π}{3}$
• C． 8$\sqrt{6}$π
• D． 36π

Answer 1

分析 設(shè)ABCD的中心為O′，球心為O，則O′B=$\frac{1}{2}$BD=2，設(shè)O到平面ABCD的距離為d，則R²=d²+2²=2²+（1-d）²，求出R，即可求出四棱錐P-ABCD的外接球的體積．

解答 解：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，
△PAD中，∠APD=120°，PA=PD=2，∴PE=1，AD=2$\sqrt{3}$，
設(shè)ABCD的中心為O′，球心為O，則O′B=$\frac{1}{2}$BD=2，
設(shè)O到平面ABCD的距離為d，則R²=d²+2²=2²+（2-d）²，
∴d=1，R=$\sqrt{5}$，
∴四棱錐P-ABCD的外接球的體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{20\sqrt{5}}{3}π$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐P-ABCD的外接球的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出四棱錐P-ABCD的外接球的半徑是關(guān)鍵．