Question

5．設G是一個非空集合，*是定義在G上的一個運算，如果滿足下述四個條件
（1）對于?a，b∈G，都有a*b∈G；
（2）對于?a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；
（3）對于?a∈G，?e∈G，使得 a*e=e*a=a；
（4）對于?a∈G，?a′∈G，使得 a*a′=a′*a=e
則稱G關于運算*構(gòu)成一個群．現(xiàn)給出下列集合和運箅
①G是整數(shù)集合，*為加法；②G是奇數(shù)集合，*為乘法；③G是平面向量集合，*為數(shù)量積運算；④G是非零復數(shù)集合，*為乘法，其中G關于運算*構(gòu)成群的序號是①④（將你認為正確的序號都填上）．

Answer 1

分析 逐一檢驗給出的集合與運算是否滿足運算*構(gòu)成群的定義中的兩個條件，即可得出結(jié)論．

解答 解：①若G是整數(shù)集合，
則（i）兩個整數(shù)相加仍為整數(shù)；（ⅱ）整數(shù)加法滿足結(jié)合律；（ iii）?0∈G，?a∈G，則）0+a=a+0=a；（ iv）?a∈G，在整數(shù)集合中存在唯一一個b=-a，使a+（-a）=（-a）+a=0；
故整數(shù)集合關于運算*構(gòu)成一個群；
②G是奇數(shù)集合，*為乘法，則e=1，不滿足（ iv）；
③G是平面向量集合，*為數(shù)量積運算，則不滿足（i）a*b∈G；
④G是非零復數(shù)集合，*為乘法，
則（i）兩個非零復數(shù)相乘仍為非零復數(shù)；（ⅱ）非零復數(shù)相乘符合結(jié)合律；（ iii）?1∈G，?a∈G，則）1×a=a×1=a；（ iv）?a∈G，在G中存在唯一一個 $\frac{1}{a}$，使a×$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$×a=1．
故答案為：①④．

點評 本題考查運算*構(gòu)成群的定義，舉反例可以證明命題為假，若證明命題為真，則需嚴格的證明．