Question

5．設(shè)G是一個(gè)非空集合，*是定義在G上的一個(gè)運(yùn)算，如果滿足下述四個(gè)條件
（1）對(duì)于?a，b∈G，都有a*b∈G；
（2）對(duì)于?a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；
（3）對(duì)于?a∈G，?e∈G，使得 a*e=e*a=a；
（4）對(duì)于?a∈G，?a′∈G，使得 a*a′=a′*a=e
則稱G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成一個(gè)群．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)箅
①G是整數(shù)集合，*為加法；②G是奇數(shù)集合，*為乘法；③G是平面向量集合，*為數(shù)量積運(yùn)算；④G是非零復(fù)數(shù)集合，*為乘法，其中G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成群的序號(hào)是①④（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 逐一檢驗(yàn)給出的集合與運(yùn)算是否滿足運(yùn)算*構(gòu)成群的定義中的兩個(gè)條件，即可得出結(jié)論．

解答 解：①若G是整數(shù)集合，
則（i）兩個(gè)整數(shù)相加仍為整數(shù)；（ⅱ）整數(shù)加法滿足結(jié)合律；（ iii）?0∈G，?a∈G，則）0+a=a+0=a；（ iv）?a∈G，在整數(shù)集合中存在唯一一個(gè)b=-a，使a+（-a）=（-a）+a=0；
故整數(shù)集合關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成一個(gè)群；
②G是奇數(shù)集合，*為乘法，則e=1，不滿足（ iv）；
③G是平面向量集合，*為數(shù)量積運(yùn)算，則不滿足（i）a*b∈G；
④G是非零復(fù)數(shù)集合，*為乘法，
則（i）兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相乘仍為非零復(fù)數(shù)；（ⅱ）非零復(fù)數(shù)相乘符合結(jié)合律；（ iii）?1∈G，?a∈G，則）1×a=a×1=a；（ iv）?a∈G，在G中存在唯一一個(gè) $\frac{1}{a}$，使a×$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$×a=1．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查運(yùn)算*構(gòu)成群的定義，舉反例可以證明命題為假，若證明命題為真，則需嚴(yán)格的證明．