Question

11．如圖，已知四邊形ACBF內(nèi)接于圓O，F(xiàn)A，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，且FB=FC，AB是△ABC的外接圓的直徑．
（1）求證：AD平分∠EAC；
（2）若AD=4$\sqrt{3}$，∠EAC=120°，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出∠FBC=∠FCB，∠DAC=∠FBC，由此能證明AD平分∠EAC．
（2）求出∠ACD=∠ACB=90°，∠DAC=$\frac{1}{2}∠EAC=60°$，AC=2$\sqrt{3}$，由此能求出BC的值．

解答 證明：（1）∵FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓O，
∴∠DAC=∠FBC，
又∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠EAD=∠CAD，
∴AD平分∠EAC．
解：（2）∵AB是△ABC外接圓直徑，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵∠EAC=120°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}∠EAC=60°$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ACB中，
∵∠BAC=60°，
∴BC=2$\sqrt{3}tan60°$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角平分線的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．