11.如圖,已知四邊形ACBF內(nèi)接于圓O,F(xiàn)A,BC的延長線交于點(diǎn)D,且FB=FC,AB是△ABC的外接圓的直徑.
(1)求證:AD平分∠EAC;
(2)若AD=4$\sqrt{3}$,∠EAC=120°,求BC的長.

分析 (1)推導(dǎo)出∠FBC=∠FCB,∠DAC=∠FBC,由此能證明AD平分∠EAC.
(2)求出∠ACD=∠ACB=90°,∠DAC=$\frac{1}{2}∠EAC=60°$,AC=2$\sqrt{3}$,由此能求出BC的值.

解答 證明:(1)∵FB=FC,
∴∠FBC=∠FCB,
∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓O,
∴∠DAC=∠FBC,
又∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,
∴∠EAD=∠CAD,
∴AD平分∠EAC.
解:(2)∵AB是△ABC外接圓直徑,
∴∠ACD=∠ACB=90°,
∵∠EAC=120°,
∴∠DAC=$\frac{1}{2}∠EAC=60°$,
∴AC=2$\sqrt{3}$,
在Rt△ACB中,
∵∠BAC=60°,
∴BC=2$\sqrt{3}tan60°$=6.

點(diǎn)評 本題考查角平分線的證明,考查線段長的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊系列答案
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