分析 (1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,過(guò)A作平面ABCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出當(dāng)F為AC中點(diǎn)時(shí),D1F⊥平面AB1C;
(2)求出面B1AC的一個(gè)法向量和面B1AB的法向量,利用向量法能求出二面角C-B1A-B的平面角的余弦值.
解答 解:(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,過(guò)A作平面ABCD的垂線為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1),B1(1,-1,1),
設(shè)F(a,b,0),則$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=(a,b-1,-1),$\overrightarrow{AC}$=(1,1,0),$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(1,-1,1),
∵D1F⊥平面AB1C,
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}F}•\overrightarrow{AC}=a+b-1=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}F}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=a-b=0}\end{array}\right.$,得a=b=$\frac{1}{2}$,
∴F($\frac{1}{2},\frac{1}{2},0$),即F為AC的中點(diǎn),
∴當(dāng)F為AC中點(diǎn)時(shí),D1F⊥平面AB1C;
(2)由(1)得面B1AC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=($\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1$),
設(shè)平面B1AB的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
$\overrightarrow{AB}$=(1,0,0),則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=x-y+z=0}\end{array}\right.$,取y=1,得$\overrightarrow{m}$=(0,1,1),
cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{3}{2}}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
由圖形得二面角C-B1A-B的平面角為銳角,
∴二面角C-B1A-B的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查空間直角坐標(biāo)系的建立,空間向量的應(yīng)用,空間線面垂直、二面角的求解與應(yīng)用等,考查空間想象能力和識(shí)圖能力,是中檔題.
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A. | T=2π,一條對(duì)稱軸方程為x=$\frac{π}{8}$ | B. | T=2π,一條對(duì)稱軸方程為x=$\frac{3π}{8}$ | ||
C. | T=π,一條對(duì)稱軸方程為x=$\frac{π}{8}$ | D. | T=π,一條對(duì)稱軸方程為x=$\frac{3π}{8}$ |
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