Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）用五點(diǎn)作圖法做出f（x）在區(qū)間[0，π]上的草圖；
（3）寫出f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角的正弦公式，兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）和五點(diǎn)作圖法列出表格，由正弦函數(shù)的圖象畫出在區(qū)間[0，π]上的草圖即可；
（3）由（2）中的函數(shù)圖象，直接求出f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵量$\overrightarrow a$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，…（2分）π
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}=π$…（3分）
（2）由（1）列表得

x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
2x-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
f（x）	-$\frac{1}{2}$	0	1	0	-1	-$\frac{1}{2}$

…（5分）
作圖：（草圖，僅供參考）
…（8分）
（3）由圖象可得，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為1，最小值為$-\frac{1}{2}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象，五點(diǎn)作圖法，以及二倍角的正弦公式、兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．